produit scalaire dans un repère non orthonormé

u = Exemple : On se place dans un repère orthonormé du plan. ∑ Définition et propriétés Définition Étant donnés deux vecteurs et on appelle produit scalaire de et , noté , le nombre réel Exemple avec et , on obtient Complément Attention toutefois, pour que la formule précédente soit valable, il est important que le repère soit orthonormé. Nous introduisons les notions de coordonnées covariantes et contravariantes que nous retrouverons dans des leçons plus élaborées sur les tenseurs. v Dans un plan muni d’un repère orthonormé : En effet : Or les deux vecteurs de base sont orthogonaux donc leur produit scalaire est nul, d’où : De même, dans l’espace muni d’un repère orthonormé : k 4 Le produit scalaire peut servir : • Pour démontrer par le calcul, un repère orthonormé étant choisi, une orthogonalité. ⋅ On en déduit, d'après la seconde égalité du théorème précédent : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( ||\overrightarrow{AB}||{}^2 +||\overrightarrow{AC}||{}^2 -||\overrightarrow{BC}{}||^2 \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \left( 9{}^2 +6{}^2 -8{}^2 \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =\frac{1}{2} \times 53=26,5. = ∑ k k ⋅ Il existe trois points A, B et C tel que ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗ . n k \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB}, \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC} \right), \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}, \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}, \overrightarrow{IC}= \overrightarrow{AI}, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI}{}^2 -\overrightarrow{IB}{}^2 =AI{}^2 -IB{}^2. Dans ce cas le repère est appelé repère orthonormé direct . k est donné par : u k un vecteur de coordonnées covariantes (x1, x2, ... , xn) et de coordonnées contravariantes t(x1, x2, ... , xn). v ∑ Dans le triangle ci-dessus, d'après la relation de Chasles : \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB}. k y = k Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul. = Révisez en Première : Exercice Calculer un produit scalaire dans un repère orthonormal avec Kartable ️ Programmes officiels de l'Éducation nationale Pour calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} , on projette orthogonalement le point C sur la droite (AB) . ) k y 1 {\displaystyle n\in \mathbb {N} } x ⋅ k = . k ∑ Soit \left(\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right) une base de l'espace et soit \overrightarrow{u} un vecteur de l'espace. Bien sûr, on utilise la définition du produit scalaire à l'aide des angles puisqu'ici on connaît l'angle \widehat{BAC} . y = Première utilisation : démontrer que des vecteurs sont orthogonaux Application 2 : Dans un repère orthonormé, […] ∑ 1. = • Pour déterminer un angle géométrique, avec le calcul de son cosinus, dès lors que l'on sait calculer le produit scalaire dans un repère. Dans tout ce paragraphe, on travaillera dans un repère orthonormé 1. 1 1 k Pour calculer le produit scalaire AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} ​AB​​​⋅​AC​​​ , on projette orthogonalement le point CCC sur la droite (AB)(AB)(AB) . Le produit scalaire des vecteurs et est le réel noté défini par . Expression analytiques du produit scalaire dans un repère orthonormé: Base orthonormée: Soient i d et j gd deux vecteurs non nuls du plan ; On dit que ij, d gd est une base orthonormée du plan si et seulement si i j i j A1 et . k 1 Produit scalaire dans le plan 1.1. ) Produit scalaire et quadrillage. e ) u = k Produit scalaire dans un repère orthonormé 1) Base et repère orthonormé ... Définition : Un vecteur non nul ^"⃗ de l'espace est normal à un plan P lorsqu'il est orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. ... Dans un repère orthonormé, soit %S 1 2 −2 U, &S −1 3 1 U et 0’S 2 −2 k II) Produit scalaire dans l’espace 1) Définition Soit ⃗ et ⃗ deux vecteurs de l’espace. Nous allons dans ce paragraphe étendre le produit scalaire que vous connaissez dans le plan à l'espace. k e ⋅ Dans une base orthonormée , … v 1 Dans ce chapitre, nous allons calculer le produit scalaire de deux vecteurs u et v en fonction de leurs coordonnées covariantes et contravariantes. ⋅ k {\displaystyle {\begin{aligned}u.v&=\left(\sum _{k=1}^{n}x^{k}e_{k}\right)\cdot v\\&=\sum _{k=1}^{n}x^{k}(e_{k}\cdot v)\\&=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y_{k}\end{aligned}}}, u k = = . Notons H ce projeté orthogonal : On utilise alors le théorème suivant (voir cours) : Soient A, B, C trois points du plan et si H est la projection orthogonale de C sur la droite \left(AB\right). k Nous allons voir, dans ce chapitre, 5 des principales méthodes utilisées en classe de Première pour calculer un produit scalaire : Appliquer une formule utilisant le cosinus d'un angle. ⋅ (Il suffit de se placer dans un plan contenant les deux vecteurs, ce qui est toujours possible) Les propriétés vues pour le produit scalaire dans le plan s'étendront au produit scalaire dans l'espace. ∑ Objectif Utiliser les définitions et propriétés du produit scalaire afin de déterminer des mesures d’angles ou de longueurs dans un triangle notamment. Dire que l'angle \widehat{BAC} est obtus revient à dire que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AH} ont des sens opposés. Comme les vecteurs \overrightarrow{AI} et \overrightarrow{BI} sont orthogonaux le produit scalaire \overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI} est nul ; pour la même raison le produit scalaire \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC} est lui aussi nul. \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=6{}^2 -3{}^2 =36 - 9=27. x est une base orthonormée directe si et seulement si est une base orthonormée et i,j 2 2 . {\displaystyle u} ( x Sur la figure ci-dessous, ABCD est un losange dont les diagonales mesurent : AC=12 et BD=6. 1 Propriétés (rappels) → n On a alors u→.v→=3×2−2×5+4×1=6−10+4=0 Exemple : On considère les vecteurs u→(3;−2;4) et v→(2;5;1). ( Notons HHHce projeté orthogonal : On utilise alors le théorème suivant (voir cours) : x qui nous sont familières ne sont, en fait, vraies que dans les repères orthonormés parce que dans un tel repère, les coordonnées contravariantes sont égales aux coordonnées covariantes. (d) de vecteur directeur et (d’) de vecteur directeur ’ . v k Ainsi, tu deviendras un crack dans le calcul d’un produit scalaire. 1 ∑ AB→ et AH→n’ont pas le même sens : Exemple : On considère les vecteurs u→(3;−2;4) et v→(2;5;1). Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs et . Nous verrons ce que devient, en fonction des coordonnées, l’expression du produit scalaire dans un repère non orthonormé. = par II) Applications A) étermination équation cartésienne d’une droite/d’un plan L’expression analytique du produit scalaire et la norme d’un vecteur dans un repère orthonormé : 5 \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est aigu, \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=-AB\times AH si l'angle \widehat{BAC} est obtus. ⋅ En effet, considérons les 3 points A, B, C tels que u = AB et v = AC . k ∑ [ROC] Formule de soustraction des cosinus, [ROC] Vecteur directeur et vecteur normal d'une droite, Puissance d'un point par rapport à un cercle, Déterminer le centre et le rayon d'un cercle à partir de son équation. x = ∑ n v ∑ 1 {\displaystyle u\cdot v=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y^{k}}. k n dompig produit scalaire dans un repère orthonormé 25-02-10 à 09:57 mille excuses, les coordonnées des 4 points sont : A(-2;-1) B(1;-3) C(5;3) et D(9;0) j'ai réussi pour le croquis mais je ne sais pas comment faire pour le mettre sur le forum u Lorsque l'on connaît trois distances, par exemple, les longueurs des trois côtés d'un triangle, On peut calculer un produit scalaire en utilisant l'une des égalités ci-dessous (Voir propriété) : Cette formule est particulièrement utile lorsque l'on connaît les trois côtés d'un triangle ou lorsque l'on connaît 2 côtés et la médiane issus du même point ; on utilise alors souvent une des relations ci-dessous : \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC} -\overrightarrow{AB} (Relation de Chasles), Si M et le milieu du segment [BC]\ : \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM} (Propriété de la médiane). Dans un espace préhilbertien E (c'est-à-dire un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire), une famille (v i) i∈I de vecteurs est dite orthogonale [1], [2] si ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux : ∀, ∈ (≠ ⇒ ⊥). Le produit scalaire de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC} est le nombre réel noté \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} défini par : Le sens de l'angle n'a pas d'importance dans cette formule puisque pour tout angle \theta \ : \cos \theta =\cos( - \theta ). Chapitre 8 : Calcul vectoriel et produit scalaire 1re-Spécialité mathématiques, 2019-2020 1. La méthode utilisant la projection orthogonale est particulièrement bien adaptée ici puisque l'on connaît la projection orthogonale A du point D sur la droite (IB). * calculer le produit scalaire de deux vecteurs dont on connait les coordonnées dans un repère orthonormé. u Pour la figure ci-dessous, on souhaite déterminer une valeur approchée à 10{}^{ -2} près du produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} . Il existe de nombreuses méthodes permettant de calculer un produit scalaire. C'est, en partie, ce qui fait la puissance de cet outil en mathématiques. De plus, \overrightarrow{IC}= \overrightarrow{AI}, IB=\frac{1}{2} DB=3 et IC=AI=\frac{1}{2} AC=6. v Grâce au repère orthonormé de l'espace, on peut définir les coordonnées d'un vecteur comme dans le plan et définir le produit scalaire avec les coordonnées des vecteurs. = {\displaystyle {\begin{array}{cccc}u=\sum _{k=1}^{n}x^{k}e_{k}&&&v=\sum _{k=1}^{n}y^{k}e_{k}\\&&&\\&&&\\x_{k}=e_{k}\cdot u&&&y_{k}=e_{k}\cdot v\\\end{array}}}. Nous verrons comment l’expression bien connue du produit scalaire dans un repère orthonormé se généralise dans un repère non orthonormé. Une telle famille est dite orthonormale [1], [2] si de plus tous ces vecteurs sont unitaires : ∀ ∈ ‖ ‖ = ∈ u Ce réel ne dépend pas du repère choisi. Leçon : PRODUIT SCALAIRE dans l’espace Présentation globale 1) Le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace 2) Vecteurs orthogonaux 3) Produit scalaire et norme 4) repère orthonormé de l’espace base orthonormé de l’espace 5) analytique du produit scalaire dans l'espace 6) L'ensemble des points dans l'espace tq : u AM k. y Nous verrons comment l’expression bien connue du produit scalaire dans un repère orthonormé se généralise dans un repère non orthonormé. y Soit = Le produit scalaire de AB→ et AH→ont le même sens : 2. = k ⋅ Un vecteur directeur de d est : Un vecteur normal de d est tel que : Soit : 3a + 2b = 0. a = 2 et b = − 3 conviennent, ainsi le vecteur est un vecteur normal de d. {\displaystyle v} On peut étendre la notion de produit scalaire dans le plan, établie ci-dessus, à deux vecteurs de l'espace. k y n On peut donc aussi bien utiliser des angles orientés ( comme \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC} \right) ) que des angles géométriques ( comme \widehat{BAC} ). k k e x e 1. On souhaite calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}. = v Pour la figure ci-dessous, on cherche, là encore, à calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} . n Produit scalaire dans le plan 1.1. x Exemple : On se place dans un repère orthonormé du plan. {\displaystyle {\begin{aligned}u\cdot v&=u\cdot \left(\sum _{k=1}^{n}y^{k}e_{k}\right)\\&=\sum _{k=1}^{n}(e_{k}\cdot u)y^{k}\\&=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}\end{aligned}}}. ∑ b) Orthogonalité de deux droites dans l’espace. En particulier : 1. Chapitre 8 : Calcul vectoriel et produit scalaire 1re-Spécialité mathématiques, 2019-2020 1. Définitions et propriété Définition 1. On sait qu'il existe un … Définitions et propriétés Définition 1. Reprenons l'exemple étudié lors de la première méthode en nous plaçant, cette fois, dans le repère (A~;~\vec{i},~\vec{j}) représenté ci-dessous : Les coordonnées des points A, B, C, D, I dans le repère orthonormé (A~;~\vec{i},~\vec{j}) sont : A(0~;~0)~; B(4~;~0)~;~C(4~;~4)~; D(0~;~4)~;~I(2~;~0), On on déduit les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{IB} et \overrightarrow{ID}~: \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} x_{B} -x_{I} \\ y_{B} -y_{I} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{IB}\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} x_{D} -x_{I} \\ y_{D} -y_{I} \end{pmatrix} donc \overrightarrow{ID}\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}, \overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{ID}=2 \times ( -2) +4 \times 0= -4. n On rappelle que (norme du vecteur ) désigne la longueur du segment […] k ∑ Soit On peut alors calculer le produit scalaire \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} de la façon suivante : \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\left( \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IB} \right) \cdot \left( \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC} \right) \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IB} \cdot \overrightarrow{IC}.

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